Mk chỉ tập trung giải câu b thui nha

a) p = 2

b) Ta có S= 5 + 5²+5³+...+5²⁰¹³

              => S = (5+5²+5³)+...+(5²⁰¹¹+5²⁰¹²+5²⁰¹³)

          => S =5(1+5+25)+...+5²⁰¹¹(1+5+25)

         => S = 5.31+....+5²⁰¹¹.31

        => S = 31(5+5⁴+...+5²⁰¹¹)

       => S chia hết cho 31 (ĐPCM)

a) Khi p = 2 thì p + 11 = 13 ( thỏa mãn )

Xét p > 2 :

Khi p = 2k+1 thì p + 11 = 2k + 12 = 2(k+6) mà p > 2 nên p + 11 > 2 nên khi p = 2k +1 thì p+ 11 là hợp số ( loại )

Vậy \(p=2\)

b) \(S=5+5^2+5^3+....+5^{2013}\)

Vì S có 2013 số hạng nên khi chia thành 1 nhóm sẽ có đủ số vì \(2013⋮3\)

\(\Rightarrow S=\left(5+5^2+5^3\right)+......+\left(5^{2011}+5^{2012}+5^{2013}\right)\)

     \(S=5\left(1+5+5^2\right)+.....+5^{2011}\left(1+5+5^2\right)\)

     \(S=5.31+.....+5^{2011}.31\)

     \(S=31\left(5+......+5^{2011}\right)\)

Vì \(S=5+5^2+5^3+....+5^{2013}\)nên \(S\inℕ\)và \(S=31.\left(5+.....+5^{2011}\right)\)

\(\Rightarrow S⋮31\)

Vậy \(S⋮31\left(ĐPCM\right)\)

S=5+5^2+5^3+...+5^2013

S=(5+5^2+5^3)+...+(5^2011+5^2012+5^2013)

S=1.(5+5^2+5^3)+...+5^2011.(5+5^2+5^3)

S=1.155+...+5^2011.155

S=(1+...+5^2011).155

Vì 155 chia hết cho 31 nên S chia hết cho 31.

(mình nghĩ thế thôi, bạn xem có đúng ko, còn phần a mình chưa nghĩ ra)

a) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{97}+5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+...+5^{97}\left(1+5+5^2\right)\)

\(=5.31+5^4.31+...+5^{97}.31\)

\(=31\left(5+5^4+...+5^{97}\right)⋮31\left(đpcm\right)\)

b) \(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\)

\(=5+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+...+\left(5^{98}+5^{99}\right)\)

\(=5+5\left(5+5^2\right)+5^3\left(5+5^2\right)+...+5^{97}\left(5+5^2\right)\)

\(=5+5.30+5^3.30+...+5^{97}.30\)

\(=5+30.\left(5+5^3+...+5^{97}\right)\)

Mà \(5⋮̸30\) nên \(S⋮̸30\left(đpcm\right)\)

c) Ta có: \(5S=5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\)

\(5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{100}\right)-\left(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{99}\right)\)

\(4S=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x-5=5^{100}-5\)

\(\Rightarrow25^x=5^{100}\)

\(\Rightarrow25^x=25^{50}\)

\(\Rightarrow x=50\)

S = 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + .......... + 5⁹⁹

a)  S = ( 5 + 5² + 5³ ) + ( 5⁴ + 5⁵ + 5⁶ ) + .... + ( 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹ )

    = 5. ( 1 + 5 + 5² ) + 5⁴ . ( 1 + 5 + 5² ) + .... + 5⁹⁷ . ( 1 + 5 + 5² )

     = ( 1 + 5 + 5² ). ( 5 + 5⁴ + .. + 5⁹⁷ )

      = 31 . ( 5 + 5⁴ + .... + 5⁹⁷ ) chia hết cho 31 ( đpcm )

c ) 5S = 5² + 5³ + .. + 5¹⁰⁰

=> 5S - S = 4S = 5¹⁰⁰ + 5⁹⁹ + ........ + 5³ + 5² - 5 - 5² - 5³ - ..... - 5⁹⁹

                         = 5¹⁰⁰ - 5 

25^x - 5 = 4S

=> 25^x - 5 = 5¹⁰⁰ - 5

=> 25^x = 5¹⁰⁰

=> 25^x = ( 5² )⁵⁰

=> 25^x = 25⁵⁰

=> x = 50

Vậy  x = 50

Câu b quên cách làm rồi     

a) S=5+52+53+54+...+599

=(5+52+53)+(54+55+56)+...+(597+598+599)

=5(1+5+52)+54(1+5+52)+...+597(1+5+52)

=5.31+54.31+...+597.31

=31(5+54+...+597)⋮31(đpcm)

b) S=5+52+53+54+...+599

=5+(52+53)+(54+55)+...+(598+599)

=5+5(5+52)+53(5+52)+...+597(5+52)

=5+5.30+53.30+...+597.30

=5+30.(5+53+...+597)

Mà 5⋮̸30 nên S⋮̸30(đpcm)

c) Ta có: 5S=52+53+54+55+...+5100

5S−S=(52+53+54+55+...+5100)−(5+52+53+54+...+599)

4S=5100−5

⇒25x−5=5100−5

⇒25x=5100

⇒25x=2550

⇒x=50

có cái báo cáo rồi

Bài 3:

\(A=5+5^2+..+5^{12}\)

\(5A=5\cdot\left(5+5^2+..5^{12}\right)\)

\(5A=5^2+5^3+...+5^{13}\)

\(5A-A=\left(5^2+5^3+...+5^{13}\right)-\left(5+5^2+...+5^{12}\right)\)

\(4A=5^2+5^3+...+5^{13}-5-5^2-...-5^{12}\)

\(4A=5^{13}-5\)

\(A=\dfrac{5^{13}-5}{4}\)

S=( 5+5^2+5^3)+....+(5^2011+5^2012+5^2013). Nhóm 3 số 1 bộ

S=5(1+5+5^2)+.....+5^2011(1+5+5^2)

S=5.31+.....+5^2011.31

S=31(5+....+5^2011) chia hết cho 31(đpcm)

Tick nhé.

Tiện thể cho mình hỏi cách viết số mũ lên cao thế nào vậy

ĐỀ CÓ SAI K !? 
CÓ THÌ SỬA 
K THÌ MÌNH NGHĨ CHO
 

\(S=5+5^2+5^3+.....+5^{2013}\)

\(=\left(5+5^2+5^3\right)+.....+\left(5^{2011}+5^{2012}+5^{2013}\right)\)

\(=\left(5.1+5.5+5.25\right)+....+\left(5^{2011}.1+5^{2011}.5+5^{2011}.25\right)\)

\(=31.5+31.5^4+....+31.5^{2011}\)

= 31.(5+5⁴+....+5²⁰¹¹)

S chia hết cho 31 

\(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2022}\)

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6\right)+...+\left(5^{2021}+5^{2022}\right)\)

\(S=\left(5+5^2\right)+5^2\cdot\left(5+5^2\right)+5^4\cdot\left(5+5^2\right)+...+5^{2020}\cdot\left(5+5^2\right)\)

\(S=\left(5+5^2\right)\left(1+5^2+5^4+...+5^{2020}\right)\)

\(S=30\left(1+5^2+5^4+...+5^{2020}\right)\)

Vậy S chia hết cho 30

S không thể chia hết cho 13 nhé

S=(5+5^2)+5^2(5+5^2)+...+5^2020(5+5^2)

=30*(1+5^2+...+5^2020) chia hết cho 30

S = (1+5)+(5^2+5^3)+(5^4+5^5)+(5^6+5^7)

   = 6+5^2.(1+5)+5^4.(1+5)+5^6.(1+5)

   = 6+5^2.6+5^4.6+5^6.6

   = 6.(1+5^2+5^4+5^6) chia hết cho 6

=> ĐPCM

k mk nha

(1+5)+(5^2+5^3)+........+(5^6+5^7)

=6+5^2(1+5)+......+5^6(1+5)

=6+5^2 . 6 +.....+5^6 . 6

= 6 ( 5^2+.....+5^6)

Suy ra S chia hết cho 6

\(S=\left(1+5\right)+\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+\left(5^6+5^7\right)\)

\(=6+5^2\times6+5^4\times6+5^6\times6\)

\(=6\left(1+5^2+5^4+5^6\right)\)chia hết cho 6

=> S chia hết cho 6 =>ĐPCM

\(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2004}\)

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2003}+5^{2004}\right)\)

\(S=5\left(1+5\right)+5^3\left(1+5\right)+...+5^{2003}\left(1+5\right)\)

\(S=5.6+5^3.6+...+5^{2003}.6\)

\(S=6\left(5+5^3+...+5^{2003}\right)\) chia hết cho 6 

S=5+5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
S=(5+5⁴)+(5²+5⁵)+(5³+5⁶)+...+(5²⁰⁰⁰+5²⁰⁰⁴)
S=5x126+5²x126+5³x126+...+5²⁰⁰⁰x126
⇒S chia hết cho 126
        
S=5+5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
có 65=13*5 mà tổng S chia hết cho 5 nha nên Cm S chia hết cho 13
tổng S có 2004 số số hạng được tách thành 2 phần: S=S₁+S₂
Với S₁=5+5³=130=65*2 nên S1 chia hết cho 65
S₂=5²+5³+5⁴+5⁵+...+5²⁰⁰⁴
(có 2002 số số hạng) mà 2002 chia hết cho 13 nên S2  chia hết cho 65
Vậy S chia hết cho 65

(2004-1):1+1=2004(số hạng)

Vì 2004=4.501 nên ta viết S thành 501 nhóm mỗi nhóm có 4 số hạng như sau:

S=(5+5^2+5^3+5^4)+...+(5^2001+5^2002+5^2003+5^2004)

S=5.(1+5+5^2+5^3)+...+5^2001.(1+5+5^2+5^3)

S=5.156+...+5^2001.156

S=5.26.6+...+5.26.6.5^2000

S=130.6+...+130.6.5^2000

S=130.(6+...+6.5^2000)

S chia hết cho 130 (ĐPCM)